ご自身の名義でないカードを使って借入をした場合、その借金は誰が返済しなければならないのでしょうか。

本来であれば、実際に借りた人が返済するのが筋でしょうが、法律上、その借金はそのカードの名義人となります。
つまり、債務整理を行うにあたり、その借金も併せての整理をご希望されても、他人名義での借金はご自身の債務整理には含むことができません。
もし、他人名義での債務も整理の必要があれば、改めてその方からご依頼をいただくこととなります。
これは、配偶者や親兄弟でも同様です。

また、家族カード使用での債務についても、カード自体にご自身の名前が刻印されてはいますが、通常は本会員(親カード)の債務となりますのでご注意ください。